Algo que se viene observando desde hace tiempo en las aulas universitarias chilenas, y que constituye, según pienso, una de las degradaciones más silenciosas de nuestra formación superior, es la conversión gradual de la enseñanza matemática en una suerte de catecismo computacional. Recibe el estudiante fórmulas, las aplica, obtiene resultados; verifica el profesor que el procedimiento se haya ejecutado según el patrón canónico; sanciona el examen, finalmente, la fidelidad del alumno a la receta. Pero entre ese ejercicio y la matemática propiamente entendida media, según trataré de mostrar, una distancia tan vasta que reclama nombre propio.

La cuestión, conviene decirlo desde el comienzo, no es estrictamente didáctica. Es, antes que eso, una cuestión epistemológica y, en último término, de honestidad intelectual. Se trata de preguntar qué cosa, exactamente, se está enseñando cuando se dice enseñar matemática; y, correlativamente, qué cosa, exactamente, se está aprendiendo cuando se dice aprenderla. Las respuestas más comunes, sospecho, no resisten el examen.

Lo que sigue articula tres tesis. La primera, normativa: que toda enseñanza matemática digna de su nombre se orienta deliberadamente hacia la comprensión de la necesidad lógica. La segunda, conceptual: que el saber matemático se constituye por la integración de un componente técnico y un componente causal, y que su disociación, en cualquiera de las dos direcciones, lo degrada; la técnica sin comprensión deviene mera ejecución, la comprensión sin técnica, conocimiento inoperante. La tercera, crítica: que la práctica docente actual, en su forma corriente, no sólo ha abandonado el horizonte demostrativo, sino que ha sustituido el ejercicio vivo del razonamiento por un teatro de simulacro pedagógico.

El principio de honestidad

La tesis central admite formulación sencilla: la única enseñanza de la matemática que merece llamarse honesta es aquella que se orienta, desde el primer momento y en todos sus niveles, hacia la construcción de razonamientos con necesidad lógica. Conviene, sin embargo, precisar inmediatamente qué cosa exige este principio y qué cosa no exige.

No exige, por de pronto, que cada lección contenga una demostración formal en sentido bourbakiano. Sería absurdo pretender que el alumno de primer año reciba teoremas axiomatizados con todo su aparato lógico; la madurez intelectual requerida para tales construcciones es producto, ella misma, de un trayecto largo de exposición creciente. Lo que el principio exige es algo más sutil y, también, más exigente: que cada lección esté diseñada con la intención consciente de preparar la mente para la demostración. La demostración rigurosa es el horizonte irrenunciable; no necesariamente el punto de partida.

Bajo esta luz, cualquier estrategia didáctica resulta legítima si se concibe como puente hacia la comprensión del porqué necesario. Los juegos, las exploraciones, las metáforas visuales, la ejercitación repetida, todos ellos pueden cumplir función formativa genuina, siempre que el profesor que los emplea sepa hacia dónde conducen, y siempre que se conciban no como sustitutos del argumento sino como preparación de la mente para recibirlo. El criterio no es la forma exterior de la clase, sino la intencionalidad arquitectónica que la organiza.

Pero si ese horizonte desaparece, si la demostración jamás asoma y el estudiante nunca descubre que la matemática se sostiene sobre argumentos y no sobre la autoridad de quien dicta, entonces esa enseñanza no constituye una versión empobrecida de la ciencia: constituye, lisa y llanamente, un engaño. Se habrá enseñado otra cosa (cálculo servil, obediencia simbólica, gimnasia de manipulación) y llamarlo matemática será un fraude. El alumno, ignorante de la sustitución, creerá haber accedido a una disciplina cuya naturaleza esencial le ha sido escamoteada; el profesor, voluntariamente o no, habrá cooperado en la deformación.

Conviene, por escrúpulo, una matización. No toda enseñanza con números merece esta dura calificación. La alfabetización numérica que prepara para la vida cotidiana, el cálculo de un vuelto, la lectura de tasas, la estimación de medidas, no es, estrictamente, enseñanza de la matemática como ciencia; es alfabetización funcional, valiosa en su orden, sin pretensión científica. El fraude se configura, propiamente, cuando se presenta como matemática plena lo que es mera instrumentalización; cuando se atribuye al alumno un saber que no posee, porque se le ha ocultado precisamente aquello que constituye la matemática como tal: su régimen argumentativo, su exigencia de fundamentación, su disciplina del porqué.

Saber que sí, saber por qué

Aristóteles, en los primeros pasajes de la Metafísica, estableció una distinción que conviene recuperar, pues nombra exactamente lo que aquí está en juego. Existe un saber que sólo aprehende el hecho (el ὅτι, decían los griegos: «que es así»); existe otro que aprehende, además, la causa (el διότι: «por qué es así»). El primero constituye técnica, τέχνη; el segundo, ciencia, ἐπιστήμη propiamente dicha. Y el corolario aristotélico señalaba ya con precisión la consecuencia: el maestro de obra (el ἀρχιτέκτων) se distingue del jornalero no por mayor destreza manual, sino por conocer las razones de lo que el otro ejecuta. Por ello manda; por ello juzga; por ello adapta.

Permítaseme ilustrarlo con un caso concreto. Un contador competente calcula correctamente un flujo de caja, levanta un inventario, ajusta un balance. Sus operaciones son irreprochables; los resultados, válidos. No tendría sentido decir que ha sido engañado en su formación: dispone de una técnica funcional y la ejerce con corrección. Sin embargo, si jamás ha comprendido por qué las fórmulas que aplica son las que son, por qué la lógica del descuento exponencial se sostiene en tales o cuales propiedades de las progresiones geométricas, por qué la equivalencia entre flujos diferidos descansa sobre el principio de aditividad temporal del valor del dinero, entonces su saber, aunque funcional, no podría llamarse propiamente matemático. Es saber mecánico; semejante, en estructura, al de una máquina bien programada.

Y aquí emerge la consecuencia crítica, la que dota al argumento de fuerza diagnóstica. El conocimiento mecánico opera dentro de los límites del patrón aprendido: ofrecidas las entradas previstas, produce las salidas previstas. Alterada la situación, queda inerme; o, peor, prosigue aplicando la receta donde ya no corresponde, sin advertirlo. El conocimiento causal, en cambio, posee la virtud de la transferibilidad: comprendido el porqué, la mente sabe reconocer cuándo el contexto se aparta del paradigma, cuándo la fórmula deja de ser válida, cuándo es preciso refundar el argumento desde principios. Es la diferencia, si se permite la metáfora, entre quien sabe recorrer un camino y quien sabe leer un mapa. El primero, perdido el sendero, queda detenido. El segundo, frente a cualquier territorio, se orienta.

Adviértase que esta capacidad de improvisación rigurosa no constituye un añadido externo al conocimiento matemático, sino su fruto específico. Quien ha demostrado, aunque sea una sola vez, por qué la suma de los ángulos internos de un triángulo plano equivale a dos rectos, dispone de algo que el mero memorizador del teorema jamás tendrá: la conciencia de que el resultado depende del postulado de las paralelas y, con ella, la capacidad de prever que en geometrías no euclídeas el resultado habrá de ser otro. La demostración, así, no es ornamento del saber matemático; es la sede misma de su transferibilidad, el dispositivo que convierte un conjunto de fórmulas en un cuerpo de razonamiento.

Conviene, antes de seguir, no caer en el extremo opuesto. La sola comprensión causal, desprovista de la técnica que la encarne en operaciones efectivas, configura otro tipo de deficiencia: el conocimiento contemplativo que entiende sin ser capaz de hacer. La matemática plena exige la integración de ambos momentos; quien sabe por qué pero no puede ejecutar, y quien ejecuta sin saber por qué, son figuras simétricas de un mismo desequilibrio. La pedagogía honesta no consiste, por tanto, en privilegiar la causa sobre la técnica, sino en formar mentes que poseen ambas: que ejecutan porque comprenden, y que comprenden porque han ejecutado lo bastante como para reconocer dónde las reglas se sostienen y dónde podrían quebrarse.

Hay, por último, una implicación contemporánea que conviene no eludir. En un tiempo donde la ejecución mecánica resulta cada vez más delegable a artefactos (calculadoras, hojas de cálculo, modelos de lenguaje, sistemas de cómputo simbólico), el operador puramente técnico se encuentra precisamente en la condición más vulnerable: aquella cuya función puede ser sustituida sin pérdida. Quien sobrevive a la automatización, y quien la dirige, es quien comprende; porque sólo la comprensión causal permite formular las preguntas correctas, validar los resultados que la máquina entrega, reconocer cuándo ésta yerra por aplicación inadecuada de un patrón, decidir cuándo conviene apartarse del procedimiento estándar. La enseñanza honesta de la matemática deviene, así, no ya sólo imperativo epistemológico, sino condición práctica de la libertad intelectual en una época en que la mera ejecución ha dejado de ser propiedad exclusiva del entendimiento humano.

Del razonamiento vivo a la diapositiva

Sentado lo anterior, conviene volver la mirada sobre el estado efectivo de las aulas chilenas; y aquí el diagnóstico, por desgracia, se vuelve áspero.

Lo que uno observa, salvo excepciones cada vez más raras, es la sustitución sistemática del razonamiento vivo por la lectura de diapositivas. Llega el profesor, conecta su computador, proyecta una serie de láminas previamente confeccionadas, y procede a leerlas en voz alta ante un auditorio cuya función, esencialmente, es la de copiar lo proyectado. No hay construcción; hay despliegue. No hay deliberación; hay enumeración. No hay error rectificado en tiempo real, que sería formativo, sino texto inmóvil que se sucede a sí mismo. El alumno, en consecuencia, no asiste a la operación de una mente que razona, sino a la representación, casi teatral, de un razonamiento que ya tuvo lugar fuera de la sala, en algún momento previo, y que ahora simplemente se reproduce.

Esta sustitución tiene un costo formativo que rara vez se nombra. Cuando un profesor desarrolla un argumento ante el pizarrón, cuando se equivoca y se corrige, cuando duda y deshace una línea, cuando elige entre dos estrategias y explica por qué prefiere una, está enseñando, al margen del contenido específico, algo de orden superior: está mostrando cómo se piensa matemáticamente. El estudiante, al observarlo, no sólo aprende el teorema; aprende a habitar la posición de quien razona. Aprende que la matemática no se hace recitando, sino construyendo; que el error es parte constitutiva del proceso, no anomalía a ocultar; que la elegancia de una demostración es producto de una decisión deliberada entre alternativas, no propiedad intrínseca del resultado. Todo esto, que sólo se transmite por la modelación viva de la actividad intelectual del profesor, queda cancelado cuando éste se limita a leer su propia presentación.

A lo anterior se suma una doctrina implícita, cada vez más explícita, que merece consideración aparte: aquella según la cual ciertos contenidos «no son necesarios» para tales o cuales carreras. He escuchado, en repetidas ocasiones, la frase «ustedes no serán matemáticos, no necesitan ver esto» pronunciada por colegas ante estudiantes de ingeniería, de pedagogía, de ciencias económicas, de carreras técnicas. La frase es funesta por dos razones convergentes.

Primero, porque desconoce la naturaleza misma del contenido omitido. Aquello que se declara innecesario, regularmente, no es un detalle ornamental sino precisamente la fundamentación del procedimiento que se va a usar, la razón por la cual la fórmula es como es. Suprimida la fundamentación, queda la fórmula desnuda; y, suprimida la fórmula desnuda, queda el alumno expuesto a aplicarla mecánicamente, sin recurso ante la primera situación que se aparte del patrón. Lo que se ahorra en tiempo de exposición se paga, con creces, en fragilidad operativa posterior.

Segundo, y más grave, porque la enunciación pública del «no es necesario» transmite al alumno una posición epistemológica deformante: la idea de que el conocimiento se acepta porque sí, que ciertas cosas no requieren fundamentación, que la matemática (y, por extensión, todo el saber) admite zonas de mera autoridad. Aun cuando, por economía pedagógica legítima, deba quedar fuera del programa un determinado nivel de detalle, lo que jamás debiera decirse es que tal detalle es innecesario; debiera decirse, antes bien, que su revisión queda recomendada como complemento, como horizonte deseable, como aquello que el alumno motivado debería explorar por su cuenta, dados los beneficios a largo plazo que su comprensión implica. La diferencia es enorme: en un caso, se cierra una puerta y se anuncia su irrelevancia; en el otro, se la deja abierta y se invita a cruzarla.

Hay, finalmente, una dimensión más profunda que conviene mencionar, aunque su análisis pormenorizado excedería el espacio de esta nota. La degradación que describo no es accidente individual de tales o cuales docentes; es producto, en buena medida, de una arquitectura institucional que premia la cobertura nominal de contenidos por sobre la calidad efectiva de los aprendizajes, que evalúa al profesor por métricas administrativas más que por la solidez intelectual de lo que transmite, que impone ritmos de avance incompatibles con la formación de mentes que razonan. Los profesores que se entregan al teatro de la diapositiva no son siempre, ni mayoritariamente, los menos capaces; son, con frecuencia, los más exhaustos, aquellos a quienes el sistema ha terminado por convencer de que no vale la pena exigir más, ni a sí mismos ni a sus alumnos.

Hablando derecho

Vuelvo, entonces, al punto de partida. Enseñar matemática, propiamente, es preparar la mente para la demostración; es mostrar, paso a paso y en vivo, que las cosas no son como son porque uno lo diga, sino porque pueden y deben ser fundamentadas; es, en último término, formar una conciencia que pregunta por qué, y que no se conforma con cualquier respuesta. Todo lo demás, por mucho que se le revista de ppts vistosas, de plataformas digitales, de rúbricas y formularios, no es enseñanza de la matemática: es otra cosa, y vale más llamarla por su nombre.

Y bueno, hablémoslo como se habla. Si uno mira lo que pasa en la sala de clases promedio, lo que se está haciendo no es enseñar matemática. Es leer una presentación que casi siempre el profesor descargó de algún repositorio, o que armó la noche anterior copiando bloques de otra parte, y que se despliega ante alumnos que ni siquiera disimulan el cansancio de estar viendo, una vez más, el mismo simulacro. Hay clases enteras donde nadie razona; ni el profesor, que se limita a leer, ni el alumno, que se limita a copiar. Es teatro sin guion y sin actores, sólo con utilería digital.

Y uno podría decir, con cierta resignación, que así son las cosas, que el sistema empuja para allá, que no se puede pedir más. Pero la cuestión no es si se puede pedir más. La cuestión es si lo que estamos haciendo merece, todavía, llamarse enseñar. Porque si no le estamos mostrando al alumno cómo se piensa matemáticamente, si no le estamos dejando ver una mente trabajando, si no le estamos abriendo, aunque sea por un rato, el horizonte de la demostración, entonces estamos haciendo otra cosa. Una cosa más cómoda, quizás; más eficiente para la planilla, sin duda; más medible, también. Pero no es enseñanza de la matemática. Y al alumno que sale de la universidad creyendo que sí lo es, alguien tendrá que decírselo, alguna vez: lo que recibió no fue lo que se le prometió.

Vale la pena, entonces, recuperar algo de ese pizarrón antiguo donde el profesor se equivocaba, borraba, volvía a empezar, y donde, en ese mismo error rectificado, los alumnos veíamos aparecer, por primera vez en nuestra vida, la matemática como lo que es: no un catálogo de fórmulas, sino una mente humana razonando frente a otras mentes humanas. Eso, y no la diapositiva número treinta y siete, era una clase. Y mientras no volvamos a algo parecido, lo demás, por mucho que se le decore, será fraude.